无穷其实是一件天赐之物。——史蒂夫·斯托加茨

无穷和芝诺的乌龟

无穷和极限，这两个概念似乎成为了我们学习微积分的代名词，但我们实际上很难理解这些概念，原因是在我们的日常生活中，很难说哪个现象是无穷的，或者需要逼近极限的。

回想人类远古时期，数学，或者说数字的诞生，始于人们想要弄清楚羊的数量、牛的数量，想要弄清楚今秋收获的粮食有多重；除了计数，还有形状，人类早期能够理解的几何学，都是以线条为主，一条边，方形等，甚至毕达哥拉斯学派以整数为其信条，但是不同于数字在生活中的隐性存在——比如边长为1的正方形对角线为根本无法在生活中表示出来——几何除了平直的形状外，还有最美的图形，圆形，而圆形随处可见。

我们现在知道，不论是西方的阿基米德还是东方的刘徽，都使用“割圆术”算出了圆周率，但是在这个过程中引入的无穷和极限概念，成为理解微分过程的一个幽灵，因为生活中很难具象出那样的领域场景。

而物理学四大妖兽之一的，芝诺的乌龟让无穷和极限更有了诡秘的感觉。（推荐去搜索芝诺悖论，感受下公元前的哲学家对我们所存在的空间和时间的思考；以及物理学四大妖兽）

阿喀琉斯跑不过一只乌龟吗？

芝诺悖论中的阿喀琉斯此时也许有话要说，按照芝诺的描述，因为乌龟一直在前进，就会有无穷多个起点，阿喀琉斯只能无穷地缩短和乌龟的距离，但永远无法追上乌龟。当然，我相信芝诺一定知道阿喀琉斯能追上乌龟，正如柏拉图所说，这是芝诺心之所至的小玩笑。

我们知道想要驳斥这个悖论起码有两种方式：

一种是微积分，无穷级数，因为每次乌龟移动的距离，阿喀琉斯都可以用一个时间来追平。我们用书中的例子，比如阿喀琉斯在乌龟后面10米，而阿喀琉斯的速度是10米每秒，乌龟是每秒1米。按照悖论中的说法，乌龟不断前进：

阿喀琉斯追平刚开始的10米，需要1秒，此时乌龟走了1米；
阿喀琉斯继续追平乌龟走过的1米，需要0.1秒，此时乌龟又走了0.1米；
阿喀琉斯继续追平乌龟走过的0.1米，需要0.01秒，此时乌龟又走了0.01米；
。。。

所以，最后阿喀琉斯追上乌龟所花的时间就是下面的时间，而这个时间其实是10/9,并不是一个无穷大的时间：

另一种方法就是分析数学，使用代数，设置未知数，我相信大家小时候已经学过了。

芝诺悖论最终导向的结论是，我们的时间和空间是连续的，而不是离散的。但是当我们从宏观领域进入微观量子世界后，似乎，连续性被打破了。而微积分赖以生存的无穷和极限是否依然还有意义？

现实世界存在“无穷小”吗

微积分喜爱无穷小，面对任何问题，只要将其划分到无穷小，然后解决这些无穷小的问题，再把它们拼起来，问题就解决了。

可问题是：现实世界存在无穷小？

想要探讨这个问题，我们就要请出量子力学了。量子力学是现代物理学的一个分支：

量子力学描述的是大自然在其最小尺度上的行为方式。

量子力学是有史以来人类建立的最精确的物理学理论。

量子力学听起来怪诞，建立一个包含轻子、夸克、希格斯粒子等粒子的乐园。

在量子尺度上发生的故事，也许永远不可能在现实领域发生。

而我们人类是由几万亿个原子组成，无法直观地将视野从力和现象构成的现实领域一下聚焦到粒子上。

幸运的是，微积分可以代替我们的直观感受。

值得一提的是，虽然量子力学的很多概念非常的激进，比如量子不可分、能级、隧穿效应等，但是量子力学依然保留了

空间和时间具有连续性的传统假设

麦克斯韦在麦克斯韦方程组中做出了相同的假设
牛顿引力理论
爱因斯坦相对论
。。。

从微积分到理论物理学，他们都建立在空间和时间具有连续性的假设基础上。

但我们有理由怀疑，在极限尺度上，时间和空间也许不像我们现在看到的这样。而关于极限尺度，量子理论之父普朗克，在1899年提出当下我们这个世界的“极限尺度”，又被称为“普朗克长度”，可以认为是我们能够理解和接受的最小距离：

其中，G是引力常量，h是普朗克常数，c是光速

在物理学的基本常数中，有些是通过实验观测发现的，如真空中的光速c 、基本电荷e、磁常数（真空中的磁导率）μ0 、电常数（真空电容率）ε0等。也有一些是在建立相关定律、定理时被引入或间接导出的，如牛顿引力常数G、阿伏伽德罗常数NA 、玻耳兹曼常数kB等。而普朗克常数h则是完全凭着普朗克的创造性智慧发现的。然而，它却是物理学中一个实实在在的、具有重要意义的、神奇的自然常数。

那为何普朗克长度是这样子组合的？因为考虑每个变量的单位，只有这样组合，最后得出的变量单位才是米/m。

普朗克长度约为米，这是一个非常非常小的距离，相当于质子直径的。

光经过这段距离所需的时间，所需的时间为秒，称为普朗克时间。

不论是普朗克长度，还是普朗克时间，已经远远超过我们能感受到的界限，设置我第一次看到这两个数据被深深地震撼到。

或者用作者的话说，在普朗克长度和时间之下，时间和空间将不再具有意义。

我们用宇宙目前的估测直径，除以上面的普朗克长度，得出的数字也仅仅是一个60位数。

但是在微积分中，我们经常使用无穷来描述，比如1/3=0/33333….

从一开始，微积分就假设万物——时间和空间，物质和能量——都是连续的，因此，万物才能被无限地分割，并且从无穷小再组装起来。

一点个人感受

普朗克在研究黑体辐射时，创造性地提出能量子，来让计算结果和实验结果相吻合，由此开创了量子理论。

而量子理论区别于我们现实领域的直观感受，在现实生活中，我们的时间和空间感知尝尝是连续的，没有人的时间是从1秒直接调到2秒，但我们却无法在1秒和2秒之间的想要极限上任意的暂停。

虽然，普朗克给出时间和空间的极限，但是在极限之外呢？

不得不再次感叹爱因斯坦的感叹，造物主是如何在造物之余留下让被创造物理解的后门的：

世界的永恒之迷，在于它的可理解性。——爱因斯坦

未完待续。

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现实世界存在“无穷小”吗

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